КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ С НЕРАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 

Яремко Олег Эмануилович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра компьютерных технологий, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: yaremki@mail.ru
Яремко Наталия Николаевна, доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет ( Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: yaremki@yandex.ru
Могилева Елена Сергеевна, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: elenasergivan@yandex.ru 

517.44 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-2-3 

Актуальность и цели. Интегральные преобразования функций нескольких переменных – активно развивающееся направление математического анализа. Многочисленные применения метода интегральных преобразований для решения уравнений математической физики при обработке сигналов в технике требуют совершенствования теоретического аппарата интегральных преобразований. В статье предлагается отступить от концепции симметричных интегральных преобразований, т.е. таких, в которых обратное преобразование имеет эрмитово сопряженное ядро к ядру прямого преобразования. В статье найдено разложение функции двух переменных для интеграла Фурье с группировкой гармоник по спектрам на концентрических окружностях. Аналогичная идея реализована в статье для теории кратных рядов Фурье, когда частоты гармоник группируются по границе квадрата или ромба.
Материалы и методы. Представлен вывод интегральных преобразований с неразделенными переменными на основе теоремы разложения. При этом вычисление интегралов по спектральным параметрам осуществляется переходом к полярной системе координат или к ее обобщению. В таком случае интеграл по многообразию размерности (n – 1) удается вычислить аналитически. Таким образом, в формуле обращения остается один интеграл по полярной оси.
Результаты. Сконструированы формулы обращения кратного интеграла Фурье. Их особенность состоит в том, что интегрирование ведется по полярной оси, тогда как в классической формуле обращения интегрирование ведется по многообразию размерности n. Аналогично, в теории кратных рядов Фурье получено разложение в ряд, в котором гармоники сгруппированы определенным образом и затем просуммированы в замкнутом виде. В статье предложены различные способы группировки гармонических компонент кратного ряда Фурье, что позволило получить новые формулы обращения.
Выводы. Доказаны новые формулы обращения кратного ряда Фурье и кратного интеграла Фурье; эти формулы могут быть использованы при выводе дискретных аналогов кратных интегралов Фурье с целью их применения при обработке 2D- и 3D-сигналов. 

Ключевые слова

кратные интегралы Фурье, кратные ряды Фурье, формула разложения 

 Скачать статью в формате PDF

1. Голубов, Б. И. Кратные ряды и интегралы Фурье / Б. И. Голубов // Итоги науки и техники. Сер.: Математический анализ. – 1982. – T. 19. – С. 3–54.
2. Алимов, Ш. А. Кратные ряды и интегралы Фурье. Коммутативный гармонический анализ / Ш. А. Алимов, Р. Р. Ашуров, А. К. Пулатов // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – 1989. – Т. 42. – С. 7–104.
3. Янушау скас, А. И. Кратные ряды Фурье / А. И. Янушаускас. – Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, 1986. – 272 с.
4. Снеддон, И. Преобразование Фурье / И. Снеддон. – Москва : Иностранная литература, 1955. – 668 с.
5. Бейтмен, Г. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – Москва : Наука, 1974. – Т. 2. – 296 с.
6. Попов, Д. А. О сферической сходимости интеграла Фурье индикатора N-мерной области / Д. А. Попов // Математический сборник. – 1998. – Т. 189, № 7. – С. 145–157.
7. Голу бов, Б. И. О сходимости сферических средних Рисса кратных рядов Фурье / Б. И. Голубов // Математический сборник. – 1975. – Т. 96, № 2. – С. 1254–1278.
8. Баврин, И. И. Интегральные преобразования Фурье на компактах из Rn и их приложения к проблеме моментов / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Доклады РАН. – 2000. – Т. 374, № 2. – С. 154–156.
9. Дьяченко, М. И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов / М. И. Дьяченко // Успехи математических наук. – 1992. – Т. 47, № 5. – С. 97–162.
10. Левитан, Б. М. О суммировании кратных рядов и интегралов Фурье / Б. М. Левитан // Доклады АН СССР. – 1955. – Т. 102, № 6. – С. 1073–1076.
11. Бахбих, М. О достаточных условиях сходимости двойных рядов по прямоугольникам / М. Бахбих // Математические заметки. – 1974. – Т. 15, № 6. – С. 835–838.